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主に数学関係の記事を書きます

番外編：演習　Part１

番外編：演習

問題

　 L \gt 0 とする。長さが L である１本の紐で二等辺三角形を作ることを考える。この紐で作ることのできる二等辺三角形のうち、面積が最大となるような三角形の３辺の長さをそれぞれ L を用いて表し、その三角形の面積を L を用いて表せ。

解答

　下図のような AB = AC を満たす二等辺三角形 ABC を考える。

今、 AB = x とおくと、 AB = AC より当然 AC = x となる。また、もともとの長さが L である紐で作った二等辺三角形であることから

AB + BC + AC = L

が成り立つので、

2x + BC = L

となり、

BC = L - 2x

と表せる。

　点 A から辺 BC に向かって下ろした垂線と辺 BC の交点を H とする。このとき、直角三角形 ABH と直角三角形 ACH にそれぞれ三平方の定理を用いると、

\begin{align} {BH}^2 + {AH}^2 &= {AB}^2 \\ {CH}^2 + {AH}^2 &= {AC}^2 \end{align}

となるが、 AB = AC = x より

BH = CH = \sqrt{x^2 - {AH}^2} \qquad \cdots \cdots (1)

となる。このことより、点 H は辺 BC の中点となる。すなわち、

\displaystyle BH = CH = \frac{BC}{2} = \frac{L - 2x}{2} \qquad \cdots \cdots (2)

が成り立つ。

　 (1),(2) より、

\displaystyle \sqrt{x^2 - {AH}^2} = \frac{L - 2x}{2}

となる。これを整理すると、

\begin{align} \displaystyle AH &= \sqrt{x^2 - \left( \frac{L - 2x}{2} \right)^2 \; } \\ \displaystyle &= \frac{\sqrt{4x^2 - (L - 2x)^2 \; }}{2} \\ \displaystyle &= \frac{\sqrt{L(4x - L)}}{2} \end{align}

となる。これより、二等辺三角形 ABC の面積を S とすると、

\begin{align} \displaystyle S &= BC \times AH \times \frac{1}{2} \\ \displaystyle &= (L - 2x) \times \frac{\sqrt{L(4x - L)}}{2} \times \frac{1}{2} \\ \displaystyle &= \frac{\sqrt{L}}{4} (L - 2x) \sqrt{4x - L} \qquad \cdots \cdots (3) \end{align}

と表せる。

　求めるのは S の最大値なので、 S を x の関数と見て、最大値を求めるために S を x で微分することを考える。 S を x で微分すると、

\begin{align} \displaystyle \frac{dS}{dx} &= \frac{\sqrt{L}}{4} \left( -2 \times \sqrt{4x - L} + (L - 2x) \times \frac{4}{2 \sqrt{4x - L}} \right) \\ \displaystyle &= \frac{\sqrt{L}}{2} \left( \frac{L - 2x}{\sqrt{4x - L}} - \sqrt{4x - L} \right) \\ \displaystyle &= \frac{\sqrt{L}}{2} \frac{2L - 6x}{\sqrt{4x - L}} \\ \displaystyle &= \sqrt{L} \frac{L - 3x}{\sqrt{4x - L}} \end{align}

となる。 S が最大となるような x を見つけるには、 x についての方程式 \displaystyle \frac{dS}{dx} = 0 を解けばよい。 \displaystyle \frac{dS}{dx} = 0 となるには

L - 3x = 0 かつ \sqrt{4x - L} \neq 0

となるのが必要十分なので、

\displaystyle x = \frac{L}{3} かつ \displaystyle x \neq \frac{L}{4}

となる。 L \neq 0 より \displaystyle \frac{L}{3} \neq \frac{L}{4} なので、 \displaystyle \frac{dS}{dx} = 0 の解は

\displaystyle x = \frac{L}{3}

となる。

　また、三角形の成立条件より、三角形の１辺の長さは他の２辺の長さの和より必ず小さくなるので、

x \lt x + (L - 2x) かつ L - 2x \lt x + x

が成り立つ。これより

\displaystyle \frac{L}{4} \lt x \lt \frac{L}{2}

となる。以上のことより、関数(3)の増減表およびグラフは次のようになる。

　したがって、 S が最大となるのは \displaystyle x = \frac{L}{3} のときで、そのときの S の値は

\begin{align} \displaystyle &\frac{\sqrt{L}}{4} \left( L - 2 \times \frac{L}{3} \right) \sqrt{4 \times \frac{L}{3} - L} \\ \displaystyle &= \frac{\sqrt{L}}{4} \times \frac{L}{3} \times \sqrt{\frac{L}{3}} \\ \displaystyle &= \frac{L^2}{12 \sqrt{3}} \\ \displaystyle &= \frac{\sqrt{3}}{36} L^2 \end{align}

となる。これより求める最大の面積は \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{36} {L}^{2} となり、またこのとき三角形 ABC の３辺の長さはすべて \displaystyle \frac{L}{3} となる(すなわち三角形 ABC は正三角形となる)。 \qquad \blacksquare

『次元』の話　Part３

『次元』の話

色の三原色が満たす性質①

　前回の記事で、「色の世界」においてすべての色が三原色「シアン」「マゼンタ」「黄色」の和とスカラー倍で表せる話をした。つまり、すべての色はある係数 a, b, c を使って必ず

a \; \times シアン + \; b \; \times マゼンタ + \; c \; \times 黄色

の形で書ける、ということである。このように、その世界におけるすべての要素が、ある特定の要素たちの和とスカラー倍で表現できるとき、この性質のことを「全域性」と呼ぶ。今回の例で言えば、「色の世界」においては三原色たちによって全域性が成り立っていると言える。

　実は、和とスカラー倍が存在する世界(つまり線形空間)であれば、それがどんな世界であっても必ず全域性を満たすような要素たちが存在することが証明されている。ちなみに、色の世界の場合では「２つの色を混ぜる」「混ぜる際の色の比率を変える」という操作をそれぞれ和とスカラー倍として定義したが、「和とスカラー倍の定義をどう決めるか」については、全域性などを満たすようにその世界ごとにうまく決めてやればいい。

※色の世界における和とスカラー倍の定義も、元々は全域性などをうまく満たすようにそもそも定義しているので、全域性を満たすのはある意味では当然の結果なのである。

色の三原色が満たす性質②

　色の世界において三原色が満たす性質がもうひとつある。それは、「三原色の中に余計なものが入っていない(必ず三色すべて使う)」ということである。これだけだとイマイチよく分からないと思うので具体例を挙げよう。例えば、もし「実はすべての色はシアンとマゼンタの二色だけで作れちゃいました」「実は黄色は不要でした」という展開になったとしよう(実際はそんなことは無いのだが)。この場合、今まで通り「シアン」「マゼンタ」「黄色」の三色を「三原色」と呼んでいいのか、という問題を考えてほしい。

　おそらくほぼ満場一致で「いや、それなら黄色を三原色に入れたらダメだ」と反論が来るだろう。出番のない色を三原色の候補に入れても意味がないからである。もし「シアン」と「マゼンタ」の二色だけで他のすべての色が作れるなら、「黄色」ももちろんシアンとマゼンタの組み合わせで作れることになる。つまり、式で表すなら、ある係数 a, b を使って

黄色 = a \; \times シアン + \; b \; \times マゼンタ \qquad \cdots \cdots (1)

と書けてしまう、ということになる。こういったことには絶対にならない、というのが三原色が満たす２つ目の性質である。要するに「どれか一色が他の二色から生成されるようなことは無い」ということである。この性質のことを数学では「線形独立性」と呼ぶ。

　式で書くとするなら、さきほどの(1)の逆(否定)を考えればよいので、どんな係数 a, b に対しても

黄色 \neq a \; \times シアン + \; b \; \times マゼンタ \qquad \cdots \cdots (2)

となる。もちろん黄色のパターンだけでなくシアンやマゼンタのパターンも同様で、

シアン = a \; \times マゼンタ + \; b \; \times 黄色
マゼンタ = a \; \times シアン + \; b \; \times 黄色

などといったこともあってはいけないので、どんな係数 a, b に対しても

シアン \neq a \; \times マゼンタ + \; b \; \times 黄色 \qquad \cdots \cdots (3)
マゼンタ \neq a \; \times シアン + \; b \; \times 黄色 \qquad \cdots \cdots (4)

となっていなければならない。この(2)、(3)、(4)がすべて成り立つとき、線形独立性が成り立つと言える。ちなみに、前の節で「和とスカラー倍が存在する世界(線形空間)であれば全域性を満たすような要素たちが必ず存在する」と説明したが、実はもっと強い主張が言える。線形空間であれば、全域性のみならず「全域性と線形独立性を両方満たすような要素たち」というのが必ず存在する。

いよいよ『基底』の定義

　「『次元』の話　Part１」からずっと謎のままにして引っ張ってきた「基底の正確な定義」というのを、ここでようやく紹介しよう。先ほど「線形空間では全域性と線形独立性を両方満たすような要素たちが必ず存在する」と述べたが、実はこの

全域性と線形独立性を両方満たすような要素たち

のことを「基底」と呼ぶ。当初は「座標軸のような概念を抽象化したもの」として基底を説明していたが、座標軸の例においても実際に全域性と線形独立性が成り立つかどうかは、次の記事で確認していくことにする。長々と話してきた「色の三原色のお話」は、これにておしまいである。

　さて、いろいろな堅苦しい用語が目まぐるしく登場したので、ここで一旦頭の中を整理するためにこれまでに登場した用語たちをまとめておこう。

  • 和 \cdots \cdots 「足し算」のこと。ただし、三原色の例のように、通常の数字同士の足し算以外の足し算も扱う。
  • スカラー倍 \cdots \cdots 2 倍、 3 倍といったような「なんとか倍」のこと。係数に来るのは絶対に「数字」でなければならない。
  • 線形空間 \cdots \cdots 和とスカラー倍が定義された世界のこと。和とスカラー倍をどう定義するかは自分で自由に決めていい。
  • 全域性 \cdots \cdots 線形空間において、その世界におけるすべての要素が、ある特定の要素たちの和とスカラー倍で表せる性質のこと。
  • 線形独立性 \cdots \cdots 線形空間内のある特定の要素たちにおいて、どの要素も他の要素たちの和とスカラー倍で表せない性質のこと。
  • 基底 \cdots \cdots 線形空間において全域性と線形独立性をともに満たすような要素たちのこと。
  • 次元 \cdots \cdots 基底の個数のこと。

（次の記事へ続く）

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『次元』の話　Part２

『次元』の話

　前回の記事では座標軸の概念を抽象化した「基底」というワードが登場したところまで解説し、「基底の数」こそが「次元」なのだという話をした。しかし、「結局のところ基底ってなんなんだよ」と思う方も多いと思うので、座標軸以外の具体例も１つ紹介しておこう。この具体例を通すことで、基底に関するイメージがより湧きやすくなると思われる。

色の三原色って知ってる？

　ここからはしばらく例え話をしていくことにしよう。皆さんは「色の三原色」というものをご存知だろうか。「シアン」「マゼンタ」「黄色」の三色のことを「色の三原色」と呼ぶのだが、これは世の中のすべての色がこの三色の組み合わせだけで作り出せることに由来する。ちなみに、黄色はともかくとして「シアン」「マゼンタ」は何だか聞き慣れない色だなあと感じる方もいるかもしれないが、シアンは青緑に近い色で、マゼンタは赤紫に近い色である。日常生活の中ではプリンターのインクなどに用いられることが多い。「プリンターのインクの色」と言われればピンとくる方も多いのではないだろうか。

　現代の一般的なプリンターでは黒字を圧倒的に多く用いる実用性を考慮して黒のインクも一緒に入っているため、「シアン」「マゼンタ」「黄色」「黒色」の４つのインクカートリッジが搭載されているタイプのプリンターが最も主流になっている。もし「色の三原色」なんてものが存在しなければ、何十種類というインクカートリッジを搭載しなければプリンターはまともに機能しないだろう。三原色があるおかげで、たった４種類のインクカートリッジだけでプリンターは機能するのである。

　それでは、この三原色を組み合わせることで実際にどんな色を作ることができるのか。例えば、「シアン」と「マゼンタ」を 1 : 1 の比率で混ぜると「紫色」に近い色になる。また、「マゼンタ」と「黄色」を 1 : 2 の比率で混ぜれば「オレンジ色」に近い色になるし、「シアン」と「黄色」を 2 : 1 の比率で混ぜれば「緑色」に近い色が出来上がる。このように、三原色を組み合わせて他の色を作るときに重要なのは、「どの色とどの色を混ぜるのか」ということと、「それらの色をどのくらいの比率で混ぜ合わせるか」ということである。

色を混ぜることを『式』で表してみる

　さて、三原色を組み合わせることでいろいろな色を作り出せることを理解してもらった上で、今度はこれらを「式」で表すことを考えてみよう。今、「すべての色たちの世界」に次の２つの「ルール」を設けることにする。

ルール①：２つの色 A, B を「混ぜる」という操作を「 A + B 」と書くことにする

ルール②：ある色 A を n の比率で混ぜるとき、「 n \times A 」と書くことにする

　ルール①の方は直観的にも理解しやすいだろう。例えば、紫色はシアンとマゼンタを混ぜれば出来るので、これはルール①に従うと

紫色 = シアン + マゼンタ

と書ける。ルール②に関しては、比率の数値を係数として色の前に付けてあげればよいという意味である。例えば、緑色はシアンと黄色を 2 : 1 の比率で混ぜれば出来るので、これをルール②に従って書くと

緑色 = 2 \; \times シアン + 黄色

となるわけだ。

　さて、ここで思い出してほしい。「色の三原色」が三原色と呼ばれる所以(ゆえん)は、「世の中のすべての色がその三色の組み合わせだけで作り出せるから」であった。

世の中のすべての色が三原色の組み合わせだけで作られる

という事実を式で書くとすると、どう書けるだろうか。上に挙げたルール①②に従って書くなら、すべての色はある係数 a, b, c を使って必ず

a \; \times シアン + \; b \; \times マゼンタ + \; c \; \times 黄色 \qquad \cdots \cdots (\star)

の形で書ける、ということになるだろう。あとはこの係数の a, b, c の値をゴニョゴニョ動かせばそれに応じていろんな色が作り出せるというわけだ。例えば、先ほど例に挙げた

紫色 = シアン + マゼンタ

というのは、これは正確に書くなら

紫色 = 1 \; \times シアン + \; 1 \; \times マゼンタ + \; 0 \; \times 黄色

と書けるので (\star) に a = 1, b = 1, c = 0 を代入した形になっていることが分かるし、

緑色 = 2 \; \times シアン + 黄色

というのは

緑色 = 2 \; \times シアン + \; 0 \; \times マゼンタ + \; 1 \; \times 黄色

と書けるので (\star) に a = 2, b = 0, c = 1 を代入した形になっていることが分かる。このように、使っていない色に関しては係数に 0 が隠れていると考え、比率 1 で使っている色に関しては係数に 1 が隠れていると考えれば、すべての色が (\star) の形で表せていることが分かる。

最後に用語の話を少々

　あまり慣習的に使われている用語に囚われるのは好きではないのだが、最後に数学用語の話を少しだけさせてもらってこの記事を締めくくることにしよう。先ほどの三原色の例に出てきた、式にするためのルール①のことを数学では「和」と呼ぶ。まあ要するに「 + 」なのでふつうに「足し算」のことなのだが、ここでは足し算のことを「和」と呼ぶことにする。また、ルール②のことを「スカラー倍」と呼ぶ。これも、小難しくは言っているものの要はただの「 2 倍」「 3 倍」といったような「なんとか倍」という概念をスカラー倍という名前で呼ぶというだけの話である。

　そして、この「和」と「スカラー倍」という２つの概念が導入された世界のことを「線形空間」と呼ぶ。先ほどの三原色の例で言うと、「２つの色を混ぜる」「混ぜる際の色の比率を変える」という操作がそれぞれ和とスカラー倍になっていて、これにより「すべての色たちの世界」というのは線形空間になっているのである。

　線形空間には必ず基底が存在し、その基底の個数(つまり次元)はただひと通りに定まることが一般に知られている。そしてこの事実を理解するのが今回の「『次元』の話」における最終ゴールとなる。次回の記事では、いよいよ「基底とは何ぞや」の厳密な定義を紹介し、それを三原色の例と照らし合わせながら詳しく解説していこうと思う。（次の記事へ続く）

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『次元』の話　Part１

『次元』の話

『次元』とは何かをくそ真面目に考える話

　さて、今回は「次元」について考えていきたいと思う。突然だが、皆さんは「次元」という言葉の正確な意味を知っているだろうか。なんとなく、ぼんやりと、

アニメのような平面上のものは「２次元」
現実世界のような立体的なものは「３次元」

などと直感的には理解できているが、ではなぜ平面が「２次元」で立体が「３次元」なのか。この「２」とか「３」とかいう数字はどこから来ているのか。こういったことを真剣に考えたことはあるだろうか。

　ちなみに辞書で「次元」の意味を引くと、次のように出てくる。

じ‐げん【次元】：一般的な空間の広がり方の度合いを表すもの

確かにこれでも間違いではないのだが、この説明だけだと先に挙げた

なぜ平面が「２次元」で立体が「３次元」なのか
この「２」とか「３」とかいう数字はどこから来ているのか

という疑問に答えられていないのが分かるだろう。この記事ではこういった疑問に対して数学的な視点で答えていこうと思う。

『関数のグラフ』を思い出そう

　上の疑問に対する答えを理解するカギは、中学や高校のときに数学の授業で死ぬほど描いた「関数のグラフ」にある(もし今この記事を読んでいるあなたが現役の学生さんであれば、より理解しやすいはずである)。

　「直線 y = 2x のグラフを描きなさい」と言われたら皆さんは真っ先に何を描くだろうか。いきなり何も描かれていないまっさらなノートに直接グラフを描く？いやいや、まずは先に「 x 軸 」と「 y 軸 」という「座標軸」を描くだろう。座標軸がないと、例えば「原点を通る直線」とか言われてもそもそも原点がどこだか分からない。座標軸がないとグラフは描けないのである。

　ちなみに高校までの数学では基本的には平面上のグラフ(２次元のグラフ)しか扱わないが、大学以降の数学では空間内のグラフ(３次元のグラフ)なども扱う。空間内のグラフでは「 x 軸 」と「 y 軸 」の他に「 z 軸 」を座標軸として付け加えてグラフを描く。平面だろうが立体だろうが、グラフを描く上で「座標軸を取る」という行為は必ず必要な手順である。

疑問の答え

　さて、関数のグラフの話を間に挟んだところで、今回の記事の結論を書いてしまおう。ズバリ、「次元」とは、「座標軸の本数」を表しているのである。平面上のグラフは「 x 軸 」「 y 軸 」という「２」本の座標軸を取るから「２」次元なのであり、空間内のグラフは「 x 軸 」「 y 軸 」「 z 軸 」という「３」本の座標軸を取るから「３」次元なのである。

　では、「座標軸」とはそもそも何なのか？次に湧いてくる疑問はこれだろう。例えば平面上のグラフでいうところの「 x 軸 」「 y 軸 」というのは、これはいわゆる「縦」と「横」の概念を表している。また、空間内のグラフにおける「 x 軸 」「 y 軸 」「 z 軸 」は「縦」「横」そして「高さ」の概念を表していると言える。このように、座標軸というのはある方向に対しての空間の広がりを表すシンボルとなっているのである。

　数学の授業で扱うような関数のグラフでは座標軸が次元の目安になっているが、世の中なんでもかんでも座標軸があるわけではない。もちろん「座標軸がそこにあると見なす」と勝手に頭の中で妄想する方法もあるが、そうすると毎回毎回「原点はここで \cdots 」「 x 軸方向はこっちで \cdots 」などと考えなければならない。それはそれで面倒である。そこで、「楽をするために」座標軸をもっと抽象化した概念を考える。この概念は現代の数学では「基底(きてい)」と呼ばれる。抽象化と言っても本質は全く同じである。つまり、「座標軸の本数 = 次元」であったように「基底の数 = 次元」なのである。

※正確には「基底の数」というより「基底を構成するベクトルの数」と言うべきなのだが、こんな細かい日本語でウダウダ言ってると数学が嫌いになりそうなのでここでは「基底の数」で良いことにする。このブログでは私がルールである。

　次回の記事ではこの座標軸の概念を抽象化した「基底」を数学的にどう定義するかについて、イメージしやすい具体例も交えながらより詳しく解説していく。（次の記事へ続く）

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ゼロから始める三角比　Part４

ゼロから始める三角比

例題１

次の図4.1のような直角三角形ABCにおいて、角Aの大きさ x を求めよ。また、辺ABの長さ y 、辺ACの長さ z をそれぞれ L({50}^{\circ}) を用いて表せ。

図 \; 4.1

例題１の解答

　三角形の内角の和は {180}^{\circ} なので、角A = x 、角B = {50}^{\circ} 、角C = {90}^{\circ} より

x + {50}^{\circ} + {90}^{\circ} = {180}^{\circ}

が成り立つ。したがって、

x = {40}^{\circ} \quad \cdots \cdots (答)

　次に、辺BCの長さは 4 なので、辺ABの長さ y は L(4, {50}^{\circ}) と表せる。したがって、

y = L(4, {50}^{\circ}) = 4 \; L({50}^{\circ}) \quad \cdots \cdots (答)

さらに、三平方の定理より、

4^2 + z^2 = y^2

が成り立つので、

\begin{align} z^2 &= y^2 - 16 \\ \displaystyle &= \left( 4 \; L({50}^{\circ}) \right)^2 - 16 \\ \displaystyle &= 16 \; L({50}^{\circ})^2 - 16 \\ \displaystyle &= 16 \left( L({50}^{\circ})^2 - 1 \right) \end{align}

と表せる。したがって

\displaystyle z = 4 \sqrt{L({50}^{\circ})^2 - 1} \quad \cdots \cdots (答)

例題２

次の図4.2のような三角形ABCにおいて、角Aの大きさ x を求めよ。また、辺ABの長さ y 、辺ACの長さ z をそれぞれ L({25}^{\circ}) と L({70}^{\circ}) を用いて表せ。

図 \; 4.2

例題２の解答

　三角形の内角の和は {180}^{\circ} なので、角A = x 、角B = {25}^{\circ} 、角C = {70}^{\circ} より

x + {25}^{\circ} + {70}^{\circ} = {180}^{\circ}

が成り立つ。したがって、

x = {85}^{\circ} \quad \cdots \cdots (答)

　次に、下の図4.3のように、三角形ABCにおいて点Aから辺BCに向かって垂線(辺BCと垂直になるような線)を引き、その垂線と辺BCが交わる点をDとする。

図 \; 4.3

このとき、辺BDの長さを k とすると辺DCの長さは 5 - k と表せるので、辺ABの長さは L(k, {25}^{\circ}) 、辺ACの長さは L(5 - k, {70}^{\circ}) と表せる。したがって、三平方の定理より

\begin{align} k^2 + {AD}^2 &= {L(k, {25}^{\circ})}^2, \\ (5 - k)^2 + {AD}^2 &= {L(5 - k, {70}^{\circ})}^2 \end{align}

が成り立つ。これより、

\begin{align} \displaystyle AD &= \sqrt{{L(k, {25}^{\circ})}^2 - k^2} \\ \displaystyle &= \sqrt{k^2 {L({25}^{\circ})}^2 - k^2} \\ \displaystyle &= k \sqrt{{L({25}^{\circ})}^2 - 1}, \\ \displaystyle AD &= \sqrt{{L(5 - k, {70}^{\circ})}^2 - (5 - k)^2} \\ \displaystyle &= \sqrt{(5 - k)^2 {L({70}^{\circ})}^2 - (5 - k)^2} \\ \displaystyle &= (5 - k) \sqrt{{L({70}^{\circ})}^2 - 1} \end{align}

となるから、

\displaystyle k \sqrt{{L({25}^{\circ})}^2 - 1} = (5 - k) \sqrt{{L({70}^{\circ})}^2 - 1}

が成り立つ。これを k の方程式と見て k について解くと、

\displaystyle k = \frac{ 5 \sqrt{{L({70}^{\circ})}^2 - 1} }{ \sqrt{{L({25}^{\circ})}^2 - 1} + \sqrt{{L({70}^{\circ})}^2 - 1} } \quad \cdots \cdots (\ast)

となる。

　辺ABの長さ y は L(k, {25}^{\circ}) 、辺ACの長さ z は L(5 - k, {70}^{\circ}) だから

\begin{align} y &= L(k, {25}^{\circ}) = k \; L({25}^{\circ}), \\ z &= L(5 - k, {70}^{\circ}) = (5 - k) \; L({70}^{\circ}) \end{align}

となる。これに (\ast) を代入すると、

\displaystyle y = \frac{ 5 \; L({25}^{\circ}) \sqrt{{L({70}^{\circ})}^2 - 1} }{ \sqrt{{L({25}^{\circ})}^2 - 1} + \sqrt{{L({70}^{\circ})}^2 - 1} } \quad \cdots \cdots (答)
\displaystyle z = \frac{ 5 \; L({70}^{\circ}) \sqrt{{L({25}^{\circ})}^2 - 1} }{ \sqrt{{L({25}^{\circ})}^2 - 1} + \sqrt{{L({70}^{\circ})}^2 - 1} } \quad \cdots \cdots (答)

例題を通して

　上の２問の例題を通して、「関数 L(\theta) を使うことで未知の辺の長さが表現できる」ことの威力が分かってもらえたと思う。この例題では L({25}^{\circ}) や L({70}^{\circ}) などはそれ以上深堀りせずに解答としたが、もしこの L({25}^{\circ}) や L({70}^{\circ}) が具体的な数値として求められれば、もちろん辺の長さそのものも具体的な数値として表せるはずである。

　というわけで、次の記事では角度 \theta がある特別な値のときの関数 L(\theta) について、いろいろと調べていくことにする。（次の記事へ続く）

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ゼロから始める三角比　Part３

ゼロから始める三角比

関数 L(a, \theta) のおさらい

図 \; 3.1

　上の図3.1のように、底辺の長さが a で、その両端の角のうち直角ではない方の角の大きさが \theta であるような直角三角形ABCを考える。このとき、斜辺ABの長さは a と \theta の値に応じて定まる。このときの斜辺ABの長さを L(a, \theta) と表す。

　前記事でも述べたように、この関数 L(a, \theta) を我々がよく知っているような関数で明示的に表す方法は未だ発見されていない。したがって関数 L(a, \theta) はもうこの L(a, \theta) という形のままで取り扱っていくしかないのだが、明示的な表現方法が無かったとしても、定義から直接成り立つ性質などがもしあればそれ自体は定理として有用である。よって、そういった性質が何か無いかどうかをこれから調べていこう。

関数 L(a, \theta) の基本性質

　関数 L(a, \theta) は実は次のような性質を持っている。

L(a, \theta) = a \; L(1, \theta) \quad \cdots \cdots (\ast)

L(a, \theta) は L(1, \theta) を a 倍したものに等しい。この性質は、実際に図を描いてみれば「三角形の相似性」からほぼ明らかではあるのだが、ここではあえて相似性は使わずに証明してみよう。

証明 \quad L(a, \theta) と L(1, \theta) を定義に従って図示すると、次の図3.2のようになる。

図 \; 3.2

　図3.2において、三角形ABCの面積を S 、三角形DBEの面積を S_1 、四角形(台形)ADECの面積を S_2 とおくと、

S = S_1 + S_2 \quad \cdots \cdots (\ast\ast)

が成り立つ。

　今、三平方の定理より、

\begin{align} \displaystyle AC &= \sqrt{{L(a, \theta)}^2 - a^2} \\ \displaystyle DE &= \sqrt{{L(1, \theta)}^2 - 1} \end{align}

が成り立つので、3つの面積 S, S_1, S_2 はそれぞれ

\begin{align} \displaystyle S &= a \times \sqrt{{L(a, \theta)}^2 - a^2} \times \frac{1}{2} \\ \displaystyle &= \frac{a}{2} \sqrt{{L(a, \theta)}^2 - a^2} \\ \displaystyle S_1 &= 1 \times \sqrt{{L(1, \theta)}^2 - 1} \times \frac{1}{2} \\ \displaystyle &= \frac{1}{2} \sqrt{{L(1, \theta)}^2 - 1} \\ \displaystyle S_2 &= \left( \sqrt{{L(1, \theta)}^2 - 1} + \sqrt{{L(a, \theta)}^2 - a^2} \right) \times (a - 1) \times \frac{1}{2} \\ \displaystyle &= \frac{a - 1}{2} \sqrt{{L(1, \theta)}^2 - 1} + \frac{a - 1}{2} \sqrt{{L(a, \theta)}^2 - a^2} \end{align}

と表せる。

　これらを (\ast\ast) に代入すると、

\displaystyle \frac{1}{2} \sqrt{{L(a, \theta)}^2 - a^2} = \frac{a}{2} \sqrt{{L(1, \theta)}^2 - 1}

が成り立つ。両辺を2倍して2乗すると、

\displaystyle {L(a, \theta)}^2 - a^2 = a^2 \left( {L(1, \theta)}^2 - 1 \right)

となるから、

{L(a, \theta)}^2 = a^2 {L(1, \theta)}^2

となる。 L(a, \theta) は正の値しか取らないので両辺の正の平方根を取れば (\ast) が成り立つ。

　図3.2では a \gt 1 の場合を考えたが、 0 \lt a \lt 1 の場合も同様の方法で (\ast) が示せる。 a = 1 の場合は明らかである。以上により、すべての正の数 a で (\ast) が示された。 \qquad \blacksquare

この性質から何が言えるか

　この性質から何が言えるかというと、「関数 L(a, \theta) において a がどんな値であっても、それは必ず L(1, \theta) を用いて表せる」ということである。どんな L(a, \theta) でもどうせ L(1, \theta) で表せてしまうのだから、裏を返せば L(a, \theta) という記号はもはや不要なのである(自分で定義しておいてなんだが)。 L(1, \theta) さえあればそれですべて事足りてしまう。というわけで、今後は L(1, \theta) だけは特別扱いすることにして、「 1, 」の部分を省略して単に「 L(\theta) 」と書き表すことにしよう。もし今後 L(\theta) という記号が出たら、それは L(1, \theta) の略、つまり底辺の長さが 1 であるような直角三角形(下の図3.3のような状況)を考えているのだと思ってほしい。

図 \; 3.3

そして今後は関数 L(a, \theta) に代わって関数 L(\theta) の性質を調べていくことにする。先ほど証明した性質を L(\theta) の表記で書き換え、「Ｌ関数公式１」という名前で再掲しておこう。

Ｌ関数公式１ \qquad L(a, \theta) = a \; L(\theta)

　「図形(多角形)の性質を調べる」という大雑把なお話からスタートして、「直角三角形における関数 L(\theta) の性質を調べる」というかなり具体的なところまで「やるべきこと」を落とし込むことができた。これ以降のお話は、その「関数 L(\theta) の性質を調べる」という内容に焦点を当てて記事を書いていくことになるのだが、ここで一旦ここまでの内容(ゼロから始める三角比Part１～３)の総復習として、次の記事ではいくつか例題を解いていくことにしよう。（次の記事へ続く）

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ゼロから始める三角比　Part２

ゼロから始める三角比

　前記事では、図形(多角形)における最小単位が「直角三角形」であるところまで述べた。この記事ではその直角三角形についてさらに詳しく調べていくことにしよう。

三角形において重要な情報とは何か

　「詳しく調べる」と言っても具体的に何を調べればいいのかピンとこないと思うので、ここで「三角形が持っている情報」について考えてみよう(ここでは一旦直角三角形に限らず一般の三角形も含めて考える)。

　三角形というのはその名の通り「３つの角」を必ず持っている。また、それに伴い当然「３つの辺」も持っている。これは見た目から明らかだろう。つまり、下の図2.1のような三角形ABCがあったとき、「この三角形が持っている情報を挙げよ」と言われたら次の６項目が挙げられる。

図 \; 2.1

三角形が持っている情報

  1. 角A

  2. 角B

  3. 角C

  4. 辺AB

  5. 辺BC

  6. 辺AC

何も難しいことはない当たり前のことを書いただけであるが、この情報が三角形を調べる上で非常に重要な情報であり、同時にこの６項目が「三角形が持つ情報のすべて」なのである。言い換えれば、上に挙げたこの６項目がすべてハッキリすれば「その三角形について完全に調べ上げた」と言っていい、ということである。

三角形の決定条件

　さて、何を調べたらいいかがはっきりしたところで、ここで「三角形の決定条件」についてお話しよう。「なんだそれは？」と思われる人も多いかもしれないが、記憶が良い人は中学校のときに「２つの三角形の合同条件」という定理(れっきとした定理である)で次の３条件を勉強したのを覚えているだろうか。

三角形の合同条件

  1. ２つの三角形の３辺の長さがすべて等しい。

  2. ２つの三角形の２辺とその間の角がすべて等しい。

  3. ２つの三角形の１辺とその両端の角がすべて等しい。

２つの三角形があったときに、上の３条件のうちどれか１つを満たせばその２つの三角形は合同(形としてまったく同じ)である、という定理である。ここで、当たり前であるが「合同(形が同じ)である」と言うからには、当然両者の三角形の形はただ一通りに確定していなければならない(確定していなければそもそも「形を比較」すること自体できない)。つまり、この３つの合同条件は、合同条件であると同時に三角形の「決定条件」にもなっているということである。

　より丁寧に言うなら、ある三角形があったとして、その三角形が次の３条件のうちどれか１つを満たせば「その三角形の形はただ一通りに確定している」と言える、ということである。

三角形の決定条件

  1. 三角形の３辺の長さが分かっている。

  2. 三角形の２辺とその間の角が分かっている。

  3. 三角形の１辺とその両端の角が分かっている。

さらに言うと、前述の「三角形が持っている情報」の６項目(３つの角と３つの辺)について、この６項目すべてを実際に分度器や定規などで測定して調べなくても、上の「三角形の決定条件」のうちのどれか１組(「３辺」or「２辺＆１角」or「１辺＆２角」)さえ分かっていれば残りの情報は「計算で自動的に求められる」ということである。

　ここで直角三角形に話を戻そう。三角形の中でも特に直角三角形の場合、その名の通り３つの角のうち１つは「直角」だと分かっているのだから、もし直角三角形において上の「三角形の決定条件」のどれかを使おうとなったら、必然的に「1.」を選ぶ必要性はなく「2.」か「3.」のどちらかになるだろう。今回の記事では、特に「3.」に着目して議論を進めていく。

※「2.」に着目しても良いのだが、そうすると出来上がる理論が「3.」に着目した場合と比べて若干複雑になってしまう上に応用の幅があまり効かなくなってしまう。

「１辺とその両端の角」から他の情報を求める

　これまでの議論をもって、図形(多角形)における最小単位である直角三角形を詳しく調べるために我々が何をすればいいか、これでハッキリしたと思う。直角三角形において「１辺とその両端の角が分かっている」という状況で、三角形の3辺・3角の残りを計算で求めていく。これが我々がやるべきことである。

　先ほども述べたように、直角三角形の場合３つの角のうち１つは「直角」だと分かっているので、「１辺とその両端の角が分かっている」という仮定を前提にするならあともう２つの仮定(１辺の長さと１角の大きさ)が必要である。今、それらをそれぞれ下の図2.2のように設定する。

図 \; 2.2

直角三角形の底辺にあたる辺BCの長さを a 、そしてその両端の角にあたる角B、角Cのうち直角ではない方(角B)の大きさを \theta とした。この状況のもとで、三角形ABCの他の情報、つまり「角Aの大きさ」「辺AB(斜辺)の長さ」「辺AC(高さ)の長さ」を計算で求めていくことを考える。

　まずパッとすぐに分かるのは「角Aの大きさ」である。なぜなら、三角形の内角の和は {180}^{\circ} なので

角A + 角B + 角C = {180}^{\circ}

が成り立ち、角B = \theta 、角C = {90}^{\circ} より

角A + \; \theta + {90}^{\circ} = {180}^{\circ}
角A = {90}^{\circ} - \theta

と求められるからである。

　問題は「辺AB(斜辺)の長さ」と「辺AC(高さ)の長さ」である。実は、結論から言うと与えられた「 a 」「 \theta 」「 {90}^{\circ} (直角) 」の３つの情報からこれらの辺の長さを明示的に求める一般的な解法というのは未だ発見されていない。 \theta がある特殊な値のときに限り計算可能ではあるのだが、一般的な求め方というのは発見されていない。

　ただ、もし斜辺ABと高さACの２辺の長さのうちどちらか一方が分かれば、そこから残りのもう１辺の長さを求めることは容易である。中学校で学んだ「三平方の定理」を使えば求めることができる。具体的に書くと、三角形ABCは直角三角形なのだから三平方の定理より、

{BC}^2 + {AC}^2 = {AB}^2

が成り立つ。今、仮に斜辺ABの長さが L だったとしよう。すると、

a^2 + {AC}^2 = L^2

となるので、高さACの長さは a と L を用いて

\displaystyle AC = \sqrt{L^2 - a^2}

と求めることができる。

図 \; 2.3

したがって、あとは上で仮定した L の値が分かればいいということになる。この値さえハッキリすれば残りの情報がすべて具体的に求められるので、「直角三角形ABCについては完全に調べ上げた」ことになる。

　ここで、この L という値は最初に設定した a や \theta の値によって変動する値になるのはお分かりいただけるだろうか。つまり、 a が増えたり減ったりすれば L も増えたり減ったりするし、 \theta が増えたり減ったりすれば L も増えたり減ったりする。これは L の定義(斜辺ABの長さを表すということ)を考えてみればすぐに分かる。底辺の長さ( a )やそれに隣接する角の大きさ( \theta )がゴニョゴニョ動けば、斜辺の長さである L も伸びたり縮んだりするだろう。これはつまり、数学の言葉で言えば、 L が「 a と \theta の関数」であるとみなすことができる、ということである。したがって、「関数である」ということを強調するために今後 L を特に L(a, \theta) と書き表すことにしよう。

　この関数 L(a, \theta) を「我々がよく知っている」関数、例えば

L(a, \theta) = a^2 + {\theta}^2 + a + \theta +1

などでもし表すことができればそれが一番良いのだが、先ほども述べたようにこの関数 L(a, \theta) を明示的に表す方法というのは未だ発見されていないので、関数 L(a, \theta) はもうこの L(a, \theta) という形のままでこれ以降扱っていくことにする。つまり、「 L(a, \theta) がどんな関数かはよく分からないけれどとりあえずこのまま突き進んでみる」のである。「そんなやり方でいいのか」と思うかもしれないが、実は数学においてこういった展開は割とよくあることなのである。対象の関数が明示的に表せない場合、「その関数の正体そのものを突き止めるのはとりあえず一旦諦めてその関数が満たす性質だけでも出来るところまで調べていく」というスタンスである。

　次以降の記事では、関数 L(a, \theta) について明示的に表すことは一旦諦め、 L(a, \theta) が満たす性質を「 L(a, \theta) という形のままで」調べていくことを考える。（次の記事へ続く）

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