命題論理　Part２

条件命題

「もし～なら、～である」というような、「もし～なら」という仮定（条件）が含まれた命題を「条件命題」という。

例えば、「もし明日の天気が晴れなら、明日運動会が行われる」という命題は条件命題である。例によってここでも記号の話をさせてもらうが、一般に「もし $A$ なら $B$ である」という条件命題は記号で「 $A \Rightarrow B$ 」と表す。

少し神経質な指摘かも知れないが、「 $A \rightarrow B$ 」ではないことに注意されたい。「そんなのどっちでもいいじゃないか」と思われるかもしれないが、一応論理学の世界では矢印の記号１つ取っても明確に使い分けがされているので、条件命題と言われたら必ず「 $\Rightarrow$ 」の方を使うようにしよう。

条件命題の言い換え

「もし $A$ なら $B$ である」という形の条件命題だが、実はこれは前記事（命題論理 Part１）で扱った「または」を使って言い換えることができる。

先ほど挙げた条件命題「もし明日の天気が晴れなら、明日運動会が行われる」を例に考えていくことにしよう。この命題は、「明日の天気が晴れである」という条件を満たせば「明日運動会が行われる」という部分は必ず真になる、と言っている。当たり前であるが、世の中の事象として「明日の天気」というのは「晴れである」か「晴れでない」かの二択しかないのだから、言い換えれば、「明日の天気が晴れではない」か、またはそうでなければ（晴れということになるので）「明日運動会が行われる」ということになる。つまり、起こりうる事象としては、

「明日の天気が晴れではない」か、または「明日運動会が行われる」

の少なくともどちらか一方が必ず成り立つ。

これを一般化すると、「もし $A$ なら $B$ である」という条件命題は

$A$ でないか、または $B$ である

という命題と同じということになる。記号で表すなら、

$\overline{A} \vee B$

となる。このことをまとめておこう。

条件命題の言い換え公式

$A \Rightarrow B \quad \Longleftrightarrow \quad \overline{A} \vee B$

条件命題の否定

条件命題 $A \Rightarrow B$ の否定 $\overline{A \Rightarrow B}$ を考える。前節の「条件命題の言い換え公式」と、前記事（命題論理 Part１）で扱った「ド・モルガンの法則」（「かつ」「または」の否定公式）を組み合わせることにより、 $\overline{A \Rightarrow B}$ はすぐに分かる。