ε－δ論法　Part３

例題１

次の極限が成り立つことを、極限の定義を用いて証明せよ。

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} = 0$

例題１の解答

極限の定義から、次が成り立つことを示せばよい。

$\displaystyle \forall b > 0, \exists a > 0, n > a \; \Longrightarrow \; \frac{1}{n} < b　\cdots\cdots①$

$\displaystyle a = \frac{1}{b}$ とおく（この一言が重要）。このとき、

$\begin{align} n > a &\Longrightarrow n > \frac{1}{b} \\ &\Longrightarrow \frac{1}{n} < b \end{align}$

となる（逆数を取ると不等号は逆転する）。よって、①が成り立つので

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} = 0$

が成り立つ。 $\qquad \blacksquare$

例題２

次の極限が成り立つことを、極限の定義を用いて証明せよ。

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2n + 5}{3n - 1} = \frac{2}{3}$

例題２の注意点

解答に入る前に、この例題における注意点を述べておこう。この例題では

$n$ を限りなく大きくしたときの $\displaystyle \frac{2n + 5}{3n - 1}$ の値が $\displaystyle \frac{2}{3}$ に近づくことを示せ

と言っている。先ほどの例題１のように $0$ に近づくわけではないので、例題１とまったく同じ定義は使えない。少し工夫が必要である。

『極限の値が $\displaystyle \frac{2}{3}$ に近づく』ということは、言い換えると

もとの数列 $\displaystyle \frac{2n + 5}{3n - 1}$ から $\displaystyle \frac{2}{3}$ を引いた数列の極限が $0$ に近づく

ということと同じである。つまり、 $\displaystyle \frac{2n + 5}{3n - 1}$ という数列そのものを考えるのではなく

$\displaystyle \frac{2n + 5}{3n - 1} - \frac{2}{3}$

という数列を考え、これの極限が $0$ に近づくことを示せばよいわけである(正確には負の値になるのを避けるために $\displaystyle \left| \frac{2n + 5}{3n - 1} - \frac{2}{3} \right|$ というように絶対値記号をつけておくべきであるが、今回の例題ではすべての $n$ においてもともと正の値しか取らないので絶対値記号は不要)。

分かりやすく言えば、先ほどの例題１における $\displaystyle \frac{1}{n}$ の部分を

$\displaystyle \frac{2n + 5}{3n - 1} - \frac{2}{3}$

に置き換えればよい。では解答に入っていこう。

例題２の解答

極限の定義から、次が成り立つことを示せばよい。

$\displaystyle \forall b > 0, \exists a > 0, n > a \; \Longrightarrow \; \frac{2n + 5}{3n - 1} - \frac{2}{3} < b　\cdots\cdots②$

ここで、

$\displaystyle \frac{2n + 5}{3n - 1} - \frac{2}{3} = \frac{17}{3(3n - 1)}$

だから、②は次のように書き換えることができる。

$\displaystyle \forall b > 0, \exists a > 0, n > a \; \Longrightarrow \; \frac{17}{3(3n - 1)} < b$

$\displaystyle a = \frac{3b + 17}{9b}$ とおく（この一言が重要）。このとき、

$\begin{align} n > a &\Longrightarrow n > \frac{3b + 17}{9b} \\ &\Longrightarrow 9bn > 3b + 17 \\ &\Longrightarrow 9bn - 3b > 17 \\ &\Longrightarrow 3b(3n - 1) > 17 \\ &\Longrightarrow \frac{17}{3(3n - 1)} < b \end{align}$